Quiz : les vecteurs du plan (Seconde)

Le vecteur AB est associé à la translation qui transforme A en B. Un vecteur non nul est caractérisé par sa direction (celle de la droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme (la longueur AB). Il ne dépend pas de son point de départ : on peut le représenter à partir de n’importe quel point.

Le vecteur AB est égal au vecteur DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). I est le milieu de [AB] si et seulement si le vecteur AI est égal au vecteur IB. Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB, et le vecteur AA est le vecteur nul.

Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC. La somme de deux vecteurs de même origine se construit aussi avec la règle du parallélogramme.

Pour un réel k et un vecteur u⃗ non nul, le vecteur k u⃗ a la même direction que u⃗, le même sens si k > 0 et le sens contraire si k < 0, et une norme égale à |k| fois celle de u⃗. Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre : ils ont alors la même direction.

Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées ; pour multiplier par k, on multiplie chaque coordonnée par k. Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).

Dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(x ; y) vaut √(x² + y²). Exemple : A(−1 ; 3) et B(5 ; −5) donnent le vecteur AB(6 ; −8), de norme √(36 + 64) = 10. Les vecteurs u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant xy′ − x′y est nul.