Quiz : le second degré, discriminant et parabole (Première)
Ce quiz couvre le chapitre du second degré de Première spécialité : discriminant, racines, forme canonique, forme factorisée, sommet de la parabole et signe du trinôme. Fais les calculs au brouillon : chaque correction détaille la méthode attendue en contrôle.
Le quiz : 11 questions corrigées
Réponds sans regarder ton cours : l’explication s’affiche après chaque réponse.
Question 1 sur 11
Quel est le discriminant du trinôme 2x² − 3x − 2 ?
Réponse : 25. Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Le piège −7 oublie que c est négatif : −4ac = +16.Question 2 sur 11
Quelles sont les racines de x² − 5x + 6 ?
Réponse : 2 et 3. Δ = 25 − 24 = 1, donc x = (5 − 1)/2 = 2 et x = (5 + 1)/2 = 3. Contrôle : somme 5 = −b/a et produit 6 = c/a.Question 3 sur 11
Si Δ < 0 et a > 0, alors le trinôme ax² + bx + c :
Réponse : est toujours strictement positif. Sans racine réelle, le trinôme ne change jamais de signe et garde celui de a. Ici a > 0 : il est strictement positif sur ℝ, la parabole reste au-dessus de l’axe des abscisses.Question 4 sur 11
Quel est le sommet de la parabole représentant f(x) = x² − 4x + 1 ?
Réponse : S(2 ; −3). α = −b/(2a) = 4/2 = 2 et β = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Le piège S(−2 ; 13) vient d’une erreur de signe sur α.Question 5 sur 11
Quelle est la forme canonique de x² + 6x + 5 ?
Réponse : (x + 3)² − 4. (x + 3)² = x² + 6x + 9, donc x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Vérifie toujours en redéveloppant.Question 6 sur 11
Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation x² − 5x + 6 < 0 ?
Réponse : ]2 ; 3[. Les racines sont 2 et 3 et a = 1 > 0 : le trinôme est négatif strictement entre les racines. L’inégalité est stricte, donc les bornes sont exclues.Question 7 sur 11
Quelle est la racine double de 4x² − 12x + 9 ?
Réponse : x = 3/2. Δ = 144 − 4 × 4 × 9 = 0, donc x₀ = −b/(2a) = 12/8 = 3/2. On reconnaît d’ailleurs (2x − 3)².Question 8 sur 11
Combien de solutions réelles l’équation x² + x + 1 = 0 possède-t-elle ?
Réponse : aucune. Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = −3 < 0 : l’équation n’a aucune solution réelle.Question 9 sur 11
Quelle est la forme factorisée de 2x² − 3x − 2 ?
Réponse : 2(x − 2)(x + 1/2). Δ = 25, racines (3 − 5)/4 = −1/2 et (3 + 5)/4 = 2, donc 2x² − 3x − 2 = 2(x − 2)(x + 1/2). Ne pas oublier le coefficient a = 2 devant.Question 10 sur 11
La fonction f(x) = −3x² + 6x + 1 admet :
Réponse : un maximum égal à 4 en x = 1. a = −3 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, f admet un maximum en α = −6/(−6) = 1, qui vaut f(1) = −3 + 6 + 1 = 4.Question 11 sur 11
Sans calculer le discriminant, quelle est la somme des racines de x² − 7x + 10 ?
Réponse : 7. La somme des racines vaut −b/a = 7 (les racines sont 2 et 5). Le produit, lui, vaut c/a = 10.
L’essentiel à retenir : Le second degré
Trinôme et forme canonique
Un trinôme du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Il admet une forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) et β = f(α).
Sa courbe est une parabole de sommet S(α ; β), symétrique par rapport à la droite x = α. Si a > 0, elle est tournée vers le haut et f admet un minimum β en α ; si a < 0, elle est tournée vers le bas et f admet un maximum β en α.
Discriminant et racines
Le discriminant est Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, l’équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a), et f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ = 0, elle a une solution double x₀ = −b/(2a) et f(x) = a(x − x₀)². Si Δ < 0, elle n’a aucune solution réelle et le trinôme ne se factorise pas.
Exemple : x² − x − 6 a pour discriminant Δ = 1 + 24 = 25, d’où les racines (1 − 5)/2 = −2 et (1 + 5)/2 = 3. Quand les racines existent, leur somme vaut −b/a et leur produit c/a.
Signe du trinôme et inéquations
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines, et du signe contraire entre les racines. Si Δ < 0, il garde le signe de a sur tout ℝ ; si Δ = 0, il a le signe de a partout sauf en x₀ où il s’annule.
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à « trinôme > 0 » (ou < 0), on cherche les racines, puis on dresse un tableau de signes. Exemple : x² − x − 6 < 0 équivaut à x ∈ ]−2 ; 3[, car a = 1 > 0 et le trinôme est négatif entre ses racines.
8 flashcards pour mémoriser
Essaie de répondre avant de retourner la carte.
Discriminant+
Δ = b² − 4ac pour le trinôme ax² + bx + c.
Racines si Δ > 0+
x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
Cas Δ = 0+
Une racine double x₀ = −b/(2a) ; le trinôme s’écrit a(x − x₀)².
Cas Δ < 0+
Aucune racine réelle ; le trinôme ne se factorise pas et garde le signe de a.
Sommet de la parabole+
S(α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α).
Forme canonique+
f(x) = a(x − α)² + β.
Signe du trinôme+
Signe de a à l’extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Somme et produit des racines+
x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.
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