Quiz : la dérivation, nombre dérivé et variations (Première)

Une fonction f est dérivable en a si le taux d’accroissement (f(a + h) − f(a))/h admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f′(a).

Géométriquement, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. Cette tangente a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale.

Dérivées à connaître : (k)′ = 0 pour une constante k ; (x)′ = 1 ; (x²)′ = 2x ; (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)′ = −1/x² sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ ; (√x)′ = 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[.

Opérations, pour u et v dérivables : (u + v)′ = u′ + v′ ; (ku)′ = ku′ ; (uv)′ = u′v + uv′ ; (1/v)′ = −v′/v² et (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² là où v ne s’annule pas. Pour une fonction composée affine : la dérivée de x ↦ g(ax + b) est x ↦ a g′(ax + b). Attention, la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.

Sur un intervalle I : si f′(x) ≥ 0, f est croissante ; si f′(x) ≤ 0, f est décroissante (strictement si la dérivée ne s’annule qu’en des points isolés). Si f′ s’annule en a en changeant de signe, f admet un extremum local en a.

Exemple : f(x) = x³ − 12x a pour dérivée f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). f est croissante sur ]−∞ ; −2], décroissante sur [−2 ; 2], puis croissante sur [2 ; +∞[. Elle admet un maximum local f(−2) = 16 et un minimum local f(2) = −16.