Quiz : la fonction exponentielle (Première spécialité)
Ce quiz couvre la fonction exponentielle telle qu’elle est introduite en Première spécialité : définition, propriétés algébriques, dérivée, variations, équations et inéquations. Il sert aussi de révision en Terminale avant le chapitre sur le logarithme.
Le quiz : 11 questions corrigées
Réponds sans regarder ton cours : l’explication s’affiche après chaque réponse.
Question 1 sur 11
Que vaut e⁰ ?
Réponse : 1. Par définition, exp(0) = 1, donc e⁰ = 1. La courbe de l’exponentielle passe par le point (0 ; 1).Question 2 sur 11
Quelle est la dérivée de f(x) = e^(3x) ?
Réponse : 3e^(3x). La dérivée de e^(ax + b) est a e^(ax + b), donc f′(x) = 3e^(3x). La formule « n xⁿ⁻¹ » des puissances ne s’applique pas à l’exponentielle.Question 3 sur 11
Pour tous réels a et b, e^(a + b) est égal à :
Réponse : eᵃ × eᵇ. L’exponentielle transforme une somme en produit : e^(a + b) = eᵃ × eᵇ. Le piège (eᵃ)ᵇ vaut e^(ab), pas e^(a + b).Question 4 sur 11
Quelle est la solution de l’équation e^(2x − 1) = e³ ?
Réponse : x = 2. eᵃ = eᵇ équivaut à a = b : 2x − 1 = 3, donc x = 2. La réponse 1 vient d’une erreur de signe (2x = 3 − 1).Question 5 sur 11
Laquelle de ces affirmations est FAUSSE ?
Réponse : e^(−x) = −eˣ. e^(−x) = 1/eˣ, qui est strictement positif, alors que −eˣ est négatif. Les trois autres propriétés sont exactes.Question 6 sur 11
Quelle est la dérivée de f(x) = x eˣ ?
Réponse : (x + 1)eˣ. (uv)′ = u′v + uv′ = 1 × eˣ + x × eˣ = (x + 1)eˣ. Le piège eˣ oublie le terme uv′.Question 7 sur 11
Comment s’écrit plus simplement (e³ × e⁻⁵)/e⁻⁴ ?
Réponse : e². e³ × e⁻⁵ = e⁻², puis e⁻²/e⁻⁴ = e^(−2 − (−4)) = e². Le piège e⁻⁶ soustrait 4 au lieu de −4.Question 8 sur 11
Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation eˣ < 1 ?
Réponse : x < 0. 1 = e⁰, et exp est strictement croissante : eˣ < e⁰ équivaut à x < 0.Question 9 sur 11
Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 ?
Réponse : y = x + 1. y = exp′(0)(x − 0) + exp(0) = 1 × x + 1 = x + 1. La tangente passe par (0 ; 1), pas par l’origine.Question 10 sur 11
La suite définie par uₙ = e^(0,5n) est :
Réponse : géométrique de raison √e. uₙ₊₁ = e^(0,5n + 0,5) = uₙ × e^0,5, et e^0,5 = √e. On multiplie par la même constante : la suite est géométrique de raison √e.Question 11 sur 11
Quelle est une valeur approchée du nombre e ?
Réponse : 2,718. e = exp(1) ≈ 2,718. Les autres valeurs sont π ≈ 3,142, √2 ≈ 1,414 et ln 10 ≈ 2,303.
L’essentiel à retenir : La fonction exponentielle
Définition et propriétés algébriques
La fonction exponentielle est l’unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. On la note exp, et on écrit exp(x) = eˣ, avec e = exp(1) ≈ 2,718. Pour tout réel x, eˣ > 0.
Pour tous réels a et b et tout entier n : e^(a + b) = eᵃ × eᵇ ; e^(−a) = 1/eᵃ ; e^(a − b) = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ⁿ = e^(na). Ces règles transforment les sommes en produits : elles se manipulent comme les puissances.
Variations, équations et inéquations
Comme exp′ = exp et que eˣ > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe est toujours au-dessus de l’axe des abscisses, passe par le point (0 ; 1), et sa tangente en ce point a pour équation y = x + 1.
On en déduit : eᵃ = eᵇ équivaut à a = b, et eᵃ < eᵇ équivaut à a < b. Exemple : e^(3x + 1) = e⁷ équivaut à 3x + 1 = 7, soit x = 2. De même, eˣ > 1 équivaut à x > 0.
Dérivées et suites
Pour des réels a et b, la fonction x ↦ e^(ax + b) a pour dérivée x ↦ a e^(ax + b). Avec la formule du produit : si f(x) = (2x + 1)eˣ, alors f′(x) = 2eˣ + (2x + 1)eˣ = (2x + 3)eˣ, du signe de 2x + 3 puisque eˣ > 0.
Pour un réel a fixé, la suite uₙ = e^(na) est géométrique de raison eᵃ, car e^((n + 1)a) = e^(na) × eᵃ. C’est le lien entre croissance exponentielle et suites géométriques.
8 flashcards pour mémoriser
Essaie de répondre avant de retourner la carte.
Définition de la fonction exponentielle+
Unique fonction dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1.
Valeur du nombre e+
e = exp(1) ≈ 2,718.
Signe de eˣ+
Strictement positif pour tout réel x.
e^(a + b)+
eᵃ × eᵇ.
e^(−a)+
1/eᵃ.
Dérivée de e^(ax + b)+
a e^(ax + b).
Résoudre eᵃ = eᵇ ou eᵃ < eᵇ+
Équivaut à a = b, ou à a < b, car exp est strictement croissante.
Tangente en 0 à la courbe de exp+
y = x + 1.
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