Quiz : suites arithmétiques et géométriques (Première)
Ce quiz porte sur les suites arithmétiques et géométriques de Première spécialité : relation de récurrence, terme général, sens de variation, sommes de termes et modélisation d’évolutions. Il t’aide à distinguer rapidement les deux types de suites et à éviter les erreurs de rang.
Le quiz : 11 questions corrigées
Réponds sans regarder ton cours : l’explication s’affiche après chaque réponse.
Question 1 sur 11
(uₙ) est arithmétique avec u₀ = 3 et r = 4. Que vaut u₁₀ ?
Réponse : 43. uₙ = u₀ + nr, donc u₁₀ = 3 + 10 × 4 = 43. Le résultat 47 correspond à u₁₁ ; 3 × 4¹⁰ applique la formule d’une suite géométrique.Question 2 sur 11
(vₙ) est géométrique avec v₀ = 5 et q = 2. Que vaut v₄ ?
Réponse : 80. vₙ = v₀ × qⁿ, donc v₄ = 5 × 2⁴ = 5 × 16 = 80. Le résultat 13 (5 + 4 × 2) traite la suite comme arithmétique.Question 3 sur 11
Combien vaut la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
Réponse : 5 050. n(n + 1)/2 avec n = 100 : 100 × 101/2 = 5 050. Le résultat 10 100 oublie la division par 2.Question 4 sur 11
La suite définie par uₙ = 7 − 2n est :
Réponse : arithmétique de raison −2. uₙ₊₁ − uₙ = 7 − 2(n + 1) − (7 − 2n) = −2, constante. La suite est arithmétique de raison −2 et de premier terme u₀ = 7.Question 5 sur 11
Un prix augmente de 5 % chaque année. La suite des prix annuels est :
Réponse : géométrique de raison 1,05. Augmenter de 5 %, c’est multiplier par 1 + 5/100 = 1,05. Multiplier par 0,05 reviendrait à ne garder que 5 % du prix.Question 6 sur 11
(uₙ) est géométrique avec u₀ = 1 et q = 3. Combien vaut u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄ ?
Réponse : 121. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121, ce que confirme (1 − 3⁵)/(1 − 3) = (1 − 243)/(−2) = 121. Le résultat 364 ajoute un terme de trop (u₅ = 243).Question 7 sur 11
(uₙ) est arithmétique avec u₃ = 10 et u₇ = 22. Quelle est sa raison ?
Réponse : 3. u₇ = u₃ + 4r, donc 4r = 22 − 10 = 12 et r = 3. Le piège 12 oublie qu’il y a 4 pas entre les rangs 3 et 7.Question 8 sur 11
Laquelle de ces listes est formée de termes consécutifs d’une suite géométrique ?
Réponse : 3 ; 6 ; 12 ; 24. Dans 3 ; 6 ; 12 ; 24, on multiplie toujours par 2. La liste 2 ; 4 ; 6 ; 8 est arithmétique (on ajoute 2), 1 ; 4 ; 9 ; 16 est la liste des carrés, et 5 ; 10 ; 20 ; 25 n’a pas de quotient constant.Question 9 sur 11
Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 200 et pour raison 0,9. Elle est :
Réponse : strictement décroissante. u₀ > 0 et 0 < q < 1 : chaque terme vaut 90 % du précédent, la suite est strictement décroissante (baisse de 10 % par étape).Question 10 sur 11
On place 1 000 € à 3 % par an à intérêts composés. De quel capital dispose-t-on au bout de 2 ans ?
Réponse : 1 060,90 €. 1 000 × 1,03² = 1 000 × 1,0609 = 1 060,90 €. Le résultat 1 060,00 € correspond à des intérêts simples (suite arithmétique de raison 30).Question 11 sur 11
Laquelle de ces relations définit une suite arithmétique ?
Réponse : uₙ₊₁ = uₙ + 2. On ajoute la constante 2 à chaque rang : suite arithmétique de raison 2. uₙ₊₁ = 2uₙ définit une suite géométrique, uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 une suite arithmético-géométrique.
L’essentiel à retenir : Les suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques
Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si, pour tout entier n, uₙ₊₁ = uₙ + r : on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. On le vérifie en montrant que la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante.
Terme général : uₙ = u₀ + nr, et plus généralement uₙ = uₚ + (n − p)r. La suite est croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Somme à connaître : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Pour une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique : nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2.
Suites géométriques
Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si, pour tout n, uₙ₊₁ = q × uₙ : on multiplie toujours par le même nombre. Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ, ou uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ.
Si u₀ > 0 : la suite est croissante lorsque q > 1 et décroissante lorsque 0 < q < 1. Si q < 0 (et u₀ ≠ 0), les termes changent de signe à chaque rang. Somme à connaître, pour q ≠ 1 : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
Reconnaître et modéliser
Une évolution d’une même quantité fixe à chaque étape (+ 50 € par mois) se modélise par une suite arithmétique : croissance linéaire. Une évolution d’un même pourcentage se modélise par une suite géométrique : une hausse de t % correspond à une multiplication par 1 + t/100, une baisse de t % à une multiplication par 1 − t/100.
Exemple : un capital de 2 000 € placé à 4 % par an à intérêts composés vaut uₙ = 2 000 × 1,04ⁿ au bout de n années. Attention au rang : si le premier terme est u₁ et non u₀, le terme général devient uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
8 flashcards pour mémoriser
Essaie de répondre avant de retourner la carte.
Suite arithmétique+
uₙ₊₁ = uₙ + r : on ajoute toujours la même raison r.
Terme général d’une suite arithmétique+
uₙ = u₀ + nr, ou uₙ = uₚ + (n − p)r.
Suite géométrique+
uₙ₊₁ = q × uₙ : on multiplie toujours par la même raison q.
Terme général d’une suite géométrique+
uₙ = u₀ × qⁿ, ou uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ.
1 + 2 + … + n+
n(n + 1)/2.
1 + q + … + qⁿ (q ≠ 1)+
(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
Hausse de t % à chaque étape+
Multiplication par 1 + t/100 : suite géométrique de raison 1 + t/100.
Prouver qu’une suite est arithmétique+
Montrer que la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante.
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