Quiz : la fonction logarithme népérien (Terminale)
Ce quiz porte sur la fonction logarithme népérien de Terminale spécialité : définition à partir de l’exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, signe, limites et résolution d’équations. Il t’aide à automatiser les règles de calcul, souvent sources d’erreurs au bac.
Le quiz : 11 questions corrigées
Réponds sans regarder ton cours : l’explication s’affiche après chaque réponse.
Question 1 sur 11
Que vaut ln 1 ?
Réponse : 0. e⁰ = 1, donc ln 1 = 0. C’est ln e qui vaut 1.Question 2 sur 11
Pour a > 0 et b > 0, ln(ab) est égal à :
Réponse : ln a + ln b. Le logarithme transforme un produit en somme : ln(ab) = ln a + ln b. Il n’existe aucune formule simple pour ln(a + b).Question 3 sur 11
Quelle est la solution de l’équation eˣ = 5 ?
Réponse : x = ln 5. En appliquant ln aux deux membres : x = ln 5 ≈ 1,609. Le piège e⁵ est la solution de ln x = 5.Question 4 sur 11
Quelle est la dérivée de la fonction ln sur ]0 ; +∞[ ?
Réponse : 1/x. ln′(x) = 1/x. La fonction x ln x − x est une primitive de ln, pas sa dérivée.Question 5 sur 11
Comment s’écrit ln 8 en fonction de ln 2 ?
Réponse : 3 ln 2. 8 = 2³, donc ln 8 = ln(2³) = 3 ln 2 ≈ 2,079. Le piège 4 ln 2 confond 8 avec 2⁴ = 16.Question 6 sur 11
Quel est l’ensemble de définition de la fonction ln ?
Réponse : ]0 ; +∞[. ln x n’existe que pour x strictement positif : 0 est exclu, car aucun réel y ne vérifie eʸ = 0.Question 7 sur 11
Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation ln x < 0 ?
Réponse : 0 < x < 1. ln x < ln 1 équivaut à x < 1, mais ln n’est définie que pour x > 0 : les solutions sont les x de ]0 ; 1[. La réponse x < 1 oublie cette condition.Question 8 sur 11
Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) ?
Réponse : 2x/(x² + 1). (ln u)′ = u′/u avec u(x) = x² + 1 > 0 et u′(x) = 2x, donc f′(x) = 2x/(x² + 1). Le piège 1/(x² + 1) oublie de multiplier par u′.Question 9 sur 11
Quelle est la limite de ln x quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
Réponse : −∞. La courbe de ln plonge vers le bas près de l’axe des ordonnées : ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0⁺.Question 10 sur 11
Combien vaut e^(ln 7) − ln(e³) ?
Réponse : 4. e^(ln 7) = 7 et ln(e³) = 3, car ln et exp sont réciproques. Le résultat vaut donc 7 − 3 = 4.Question 11 sur 11
Lequel de ces nombres est NÉGATIF ?
Réponse : ln 0,5. ln x < 0 pour 0 < x < 1 : ln 0,5 = −ln 2 ≈ −0,69. Les autres nombres sont des logarithmes de réels supérieurs à 1, donc positifs.
L’essentiel à retenir : Le logarithme népérien
Définition : la réciproque de l’exponentielle
Pour tout réel x > 0, ln x est l’unique réel y tel que eʸ = x. La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[ : le logarithme d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.
Les fonctions ln et exp sont réciproques : e^(ln x) = x pour tout x > 0, et ln(eˣ) = x pour tout réel x. En particulier ln 1 = 0 et ln e = 1. Ainsi eˣ = 3 équivaut à x = ln 3.
Propriétés algébriques
Pour tous réels a > 0 et b > 0, et tout entier n : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(1/a) = −ln a ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = (1/2) ln a. Le logarithme transforme les produits en sommes.
Exemple : ln 9 = ln(3²) = 2 ln 3. Attention, il n’existe aucune formule pour ln(a + b), et ln(ab) n’est pas égal à ln a × ln b.
Étude de la fonction ln
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ln′(x) = 1/x > 0 : elle est strictement croissante. Elle est négative sur ]0 ; 1[, s’annule en 1 et est positive sur ]1 ; +∞[.
Limites : ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et vers +∞ quand x tend vers +∞. Croissances comparées : (ln x)/x tend vers 0 en +∞. Si u est dérivable et strictement positive, (ln u)′ = u′/u. Enfin, pour a, b > 0, ln a = ln b équivaut à a = b et ln a < ln b équivaut à a < b.
8 flashcards pour mémoriser
Essaie de répondre avant de retourner la carte.
Définition de ln x+
Pour x > 0, ln x est l’unique réel y tel que eʸ = x.
ln 1 et ln e+
ln 1 = 0 et ln e = 1.
ln(ab) et ln(a/b)+
ln a + ln b et ln a − ln b, pour a > 0 et b > 0.
ln(aⁿ)+
n ln a, pour a > 0 et n entier.
Dérivée de ln+
ln′(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[.
Dérivée de ln(u)+
u′/u, avec u dérivable et strictement positive.
Signe de ln x+
Négatif sur ]0 ; 1[, nul en 1, positif sur ]1 ; +∞[.
Croissances comparées+
(ln x)/x tend vers 0 quand x tend vers +∞.
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