Quiz : le théorème de Pythagore et sa réciproque (4e)
Ce quiz porte sur le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, au programme de 4e et incontournables au brevet. Tu y calcules des longueurs, tu vérifies si un triangle est rectangle et tu repères les pièges de rédaction. Chaque réponse est corrigée avec le calcul détaillé.
Le quiz : 11 questions corrigées
Réponds sans regarder ton cours : l’explication s’affiche après chaque réponse.
Question 1 sur 11
Dans un triangle ABC rectangle en A, quelle égalité est vraie ?
Réponse : BC² = AB² + AC². Le triangle est rectangle en A, donc l’hypoténuse est [BC], le côté opposé à A. Son carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On additionne des carrés, jamais les longueurs elles-mêmes.Question 2 sur 11
L’hypoténuse d’un triangle rectangle est :
Réponse : le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est le côté situé en face de l’angle droit ; c’est le plus long côté du triangle rectangle. Les deux autres côtés forment l’angle droit.Question 3 sur 11
ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Combien mesure BC ?
Réponse : 10 cm. BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = √100 = 10 cm. La réponse 100 cm oublie la racine carrée, 14 cm additionne les longueurs.Question 4 sur 11
EFG est rectangle en E avec FG = 13 cm et EF = 5 cm. Combien mesure EG ?
Réponse : 12 cm. L’hypoténuse est [FG]. EG² = FG² − EF² = 169 − 25 = 144, donc EG = 12 cm. √194 vient de l’erreur qui additionne les carrés alors que FG est déjà l’hypoténuse.Question 5 sur 11
Un triangle a des côtés de 6 cm, 7 cm et 9 cm. Que peut-on affirmer ?
Réponse : il n’est pas rectangle. Le plus grand côté mesure 9 cm : 9² = 81, alors que 6² + 7² = 36 + 49 = 85. L’égalité n’est pas vérifiée, donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle.Question 6 sur 11
Parmi ces longueurs de côtés, lesquelles forment un triangle rectangle ?
Réponse : 8 ; 15 ; 17. 17² = 289 et 8² + 15² = 64 + 225 = 289 : l’égalité est vérifiée. Pour les autres : 36 ≠ 41, 64 ≠ 61 et 100 ≠ 113.Question 7 sur 11
Pour démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, on utilise :
Réponse : la réciproque du théorème de Pythagore. Le théorème part d’un triangle rectangle pour obtenir une égalité ; la réciproque part de l’égalité pour conclure que le triangle est rectangle. La contraposée sert à prouver qu’il ne l’est pas.Question 8 sur 11
Quelle est la longueur exacte de la diagonale d’un carré de 5 cm de côté ?
Réponse : √50 cm. La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côtés 5 cm : d² = 25 + 25 = 50, donc d = √50 cm = 5√2 cm, environ 7,07 cm.Question 9 sur 11
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical, son pied à 1,4 m du mur (sol horizontal). À quelle hauteur arrive-t-elle ?
Réponse : 4,8 m. L’échelle est l’hypoténuse : h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = 4,8 m. La réponse 5,2 m vient d’une addition des carrés, impossible puisque la hauteur doit être inférieure à 5 m.Question 10 sur 11
Combien vaut √(3² + 4²) ?
Réponse : 5. 3² + 4² = 9 + 16 = 25 et √25 = 5. La réponse 7 applique à tort √(a² + b²) = a + b, une égalité fausse.Question 11 sur 11
Dans un triangle RST rectangle en S, quelle est l’hypoténuse ?
Réponse : [RT]. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, donc opposé au sommet S : c’est [RT]. Les côtés [RS] et [ST] forment l’angle droit.
L’essentiel à retenir : Le théorème de Pythagore
Le théorème : calculer une longueur
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long côté.
Exemple : si AB = 9 cm et AC = 12 cm, alors BC² = 81 + 144 = 225, donc BC = √225 = 15 cm. Pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait : AB² = BC² − AC², puis AB = √(BC² − AC²).
Réciproque et contraposée : le triangle est-il rectangle ?
Réciproque : si, dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC², alors ce triangle est rectangle en A. Contraposée : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle n’est pas rectangle.
Méthode : calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres, et compare. Côtés 7, 24 et 25 : 25² = 625 et 7² + 24² = 49 + 576 = 625, le triangle est rectangle. Côtés 6, 8 et 11 : 11² = 121 alors que 6² + 8² = 100, il n’est pas rectangle.
Rédaction et pièges fréquents
Cite toujours le triangle rectangle et son angle droit avant d’écrire l’égalité. Une longueur est positive : on garde la racine carrée positive. Donne la valeur exacte (par exemple √50 cm) puis, si l’énoncé le demande, un arrondi. Attention : √(a² + b²) n’est pas égal à a + b. Retiens quelques triplets pythagoriciens : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et leurs multiples.
8 flashcards pour mémoriser
Essaie de répondre avant de retourner la carte.
Énoncé du théorème de Pythagore+
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Hypoténuse+
Côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long côté du triangle rectangle.
Réciproque de Pythagore+
Si BC² = AB² + AC² dans un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.
Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle+
Montrer que le carré du plus grand côté diffère de la somme des carrés des deux autres (contraposée).
Calculer un côté de l’angle droit+
AB² = BC² − AC², puis AB = √(BC² − AC²).
Triplets pythagoriciens classiques+
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et leurs multiples (6-8-10, 9-12-15…).
Diagonale d’un carré de côté c+
d = √(c² + c²) = c√2.
√(a² + b²) = a + b ?+
Non : √(3² + 4²) = √25 = 5, et non 7.
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